ক্যালকুলাস - ক্ষুদ্রতার মাত্রা
ক্ষুদ্রতা কী তা সম্পর্কে আশা করি আগের টিউটোরিয়ালে ভালো ধারণা পেয়েছিলেন। এবার এর মাত্রা নিয়ে আলোচনা করা যাক। আমরা মাঝে মাঝেই এমন পরিস্থিতির মুখোমুখি হই, যখন কোন কিছুর সাথে তুলনা করে কোন কিছু অতি ক্ষুদ্র হয়ে যায় (যেমন: সূর্যের কাছে চাঁদ অতি ক্ষুদ্র) চাঁদের কাছে আমরা অতি ক্ষুদ্র। এবার কিছু সাধারণ কেস চিন্তা করা যাক। আমরা জানি, ১ ঘন্টায় ৬০ মিনিট, ১ দিনে ২৪ ঘন্টা, ১ সপ্তাহে ৭ দিন। তার মানে ১ দিনে ১৪৪০ মিনিট আর ১ সপ্তাহে ১০০৮০ মিনিট। বলার কোন প্রয়োজন নেই যে ১ সপ্তাহের কাছে ১ মিনিট খুবই নগণ্য সময়। আমাদের পূর্বপুরুষরা এসব ক্ষুদ্রতার মাত্রা নির্ধারণ করেছে। তারা ১ ঘন্টাকে ৬০ ভাগে ভাগ করেছে। তখন রাণী এলিজাবেথের সময়। তারা এই ছোট ছোট ভাগগুলোর নামকরণ করেছে মিনিট। আবার তারা এই মিনিট গুলোকে ৬০ ভাগে ভাগ করেছে। তারা আবার এই ক্ষুদ্র ভাগগুলোর নামকরণ করেছে দ্বিতীয় মিনিট বা ইংরেজিতে Second Minute. আমরা আজকাল এগুলোকে সেকেন্ড বলি। (কেন বলি নিশ্চয়ই এখন আর বলা লাগবেনা। আপনিসহ খুব কম মানুষই এখন কারণটা জানে)। এখন মিনিটকে যদি ক্ষুদ্রতার প্রথম মাত্রা বলি, তাহলে সেকেন্ডকে দ্বিতীয় মাত্রার ক্ষুদ্রতা বলব। কারণ এটা সেকেন্ডের তুলনায়ও ক্ষুদ্র। তাহলে একদিনের তুলনায় এক মিনিট ক্ষুদ্র হলে, একদিনের তুলনায় এক সেকেন্ড কত ক্ষুদ্র?
আবার ১০০ টাকার তুলনায় ১০ পয়সা কতটুকু? এটা মাত্র (আমি ম্যাথ ফর্মূলা লেখার সময় ইংরেজিতে লিখব) $\frac{1}{100}$ অংশ। কিন্তু দশ পয়সার সাথে যদি লাখপতির ১ লাখ টাকাকে তুলনা করা হয়, তাহলে এটা আরো অনেক ক্ষুদ্র অংশ।
এবার আমরা ঘন্টার তুলনায় মিনিট আর সেকেন্ডের তুলনাকে সংখ্যায় প্রকাশ করি। আমরা জানি এক মিনিট এক সেকেন্ডের $\frac{1}{60}$ অংশ। আর এটা হলো ক্ষুদ্রতার প্রথম মাত্রা। আর এক সেকেন্ড হলো এক মিনিটের $\frac{1}{60}$ অংশ, বা এক ঘন্টার $\frac{1}{60}\cdot\frac{1}{60} = \frac{1}{3600}$ অংশ বলতে পারি।
গত টিউটোরিয়ালে আমরা কী শিখেছিলাম মনে আছে। $du$ দ্বারা যদি $u$ এর অনেক ছোট ছোট অংশের একটি অংশকে বুঝিয়ে থাকে তাহলে আপনিই বলুন $du \cdot du$ দ্বারা কী বোঝানো হয়েছে? নিশ্চয়ই এটি দ্বিতীয় মাত্রার ক্ষুদ্রতা। এখন আমরা $du$ দিয়েই অসীম পর্যায়ের ক্ষুদ্রতা বুঝিয়েছিলাম। তাহলে দ্বিতীয় মাত্রায় এর থেকে ক্ষুদ্রতা আর সম্ভব না। তাই এটি শুণ্য। সুতরাং যখনই কোন $d$ দ্বারা নির্দেশিত ক্ষুদ্র অংশের গুণ ঘটবে (মানে গুণ্য আর গুণক দুইটাই এই চিহ্ন দ্বারা প্রকাশিত হবে) তখন তার মান শুণ্য হবে।
মন্তব্যসমূহ
একটি মন্তব্য পোস্ট করুন