ক্যালকুলাস - অন্তরীকরণের সাথে পরিচয় এবং ডেরাইভেটিভ (Introduction to Differentiation and Derivative in Bangla)

 আশা করি আগের টিউটোরিয়ালগুলো আপনারা কমপ্লিট করে এসেছেন। না করলে ক্যালকুলাসের সম্পূর্ণ টিউটোরিয়ালের সূচি সাইডবারের লিংকে দেয়া রয়েছে। এই টিউটোরিয়ালে আমরা পরিবর্তন এবং পরিবর্তনের হার সম্বন্ধে জানব। সেই সাথে অন্তরীকরণ এবং ডেরাইভেটিভ বা অন্তরীকরণ সহগের সঙ্গে পরিচিত হব।

প্রথমেই একটা বিষয় পরিষ্কার হয়ে নেয়া যাক। আমরা এখানে চলক বুঝাতে  $x$, $y$, $z$ ইত্যাদি প্রতীক এবং ধ্রুবক বুঝাতে $a$, $b$, $c$ ইত্যাদি প্রতীকগুলো ব্যবহার করব।

এখন একটা চলক যদি হয় $x$ এবং আরেকটা চলক যদি হয় $y$ এবং $y$ এর মান $x$ এর মানের উপর নির্ভরশীল। এমন অনেক নির্ভরশীলতা হতে পারে। যেমন এখানে $x$ হতে পারে কোন বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য আর $y$ ঐ বর্গের ক্ষেত্রফল।

এখন আমি ধরি $x$ এর মান অতি ক্ষুদ্র পরিমাণে বাড়িয়ে করলাম $x + dx$। তাহলে নিশ্চয়ই $y$ এর মানো অতি ক্ষুদ্র পরিমাণ বেড়ে (কমতেও পারে অথবা সমানও থাকতে পারে, সেক্ষেত্রে $dy$ এর মান নেগেটিভ বা জিরো) গিয়ে হবে $y + dy$।

এখন এই বর্গক্ষেত্রের কথাই চিন্তা করি। আমরা জানি,

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)*(বাহুর দৈর্ঘ্য)

সুতরাং,

$y = x^2$    ------------(1)

এবার বাহুর দৈর্ঘ্য অতি ক্ষুদ্র পরিমাণে বাড়িয়ে দেয়ার পর,

$y + dy = (x + dx)^2$

$\Rightarrow y + dy = x^2 + 2x\cdot dx + dx^2$

$\Rightarrow y + dy = x^2 + 2x\cdot dx$  --------- (2)

এখানে $dx^2$ কেন চলে গেল বুঝতে সমস্যা হওয়ার কথা না। এটার মান শূন্য। তবুও যদি না বুঝেন নিচে কমেন্ট বক্সে কমেন্ট করুন।

(2) হতে (1) বিয়োগ করে পাই,

$\Rightarrow dy = 2x\cdot dx$

$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = 2x$

এখানে আমরা $dx$ বা $dy$ কোনটারই মান পাইনি। এগুলোর আসলে আদতে কোন মান আছে কি। আসলে এদের দ্বারা আমরা ক্ষুদ্রতার একটা চূড়ান্ত সীমা প্রকাশ করি। কিন্তু একটা বিষয় খেয়াল করুন এখানে আমরা যে অনুপাত পেয়েছি অর্থাৎ $dx$ এর সাপেক্ষে $dy$ কতটুকু বাড়ে তার কিন্তু সুনির্দিষ্ট অর্থ রয়েছে। এই অনুপাতের অর্থ হলো যখন আমাদের বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ২ একক তখন তার ক্ষেত্রফল তার ৪ গুন বর্গ একক হারে বাড়বে। অর্থাৎ বাড়ার স্পিড। নিজেই মনে মনে একটা বর্গক্ষেত্র কল্পনা করুন আর মনে মনেই দৈর্ঘ্য বাড়ালে বর্গক্ষেত্রের অ্যানিমেশন কীরকম হয় তা কল্পনা করুন। ক্ষেত্রফল শুরুর দিকে কী হারে বাড়ে আর দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পাওয়ার পর কী হারে বাড়ে তা কল্পনা করুন। আপনি নিজেই তখন বুঝতে পারবেন এই বৃদ্ধির হার কী।

ডেরাইভেটিভ বা অন্তরীকরন সহগ (Derivative/Differential Coefficient)

মজার ব্যপার হলো আমরা ইতিমধ্যেই জেনে ফেলেছি ডেরাইভেটিভ কী। ডেরাইভেটিভ হলো কোন অনির্ভরশীল চলকের নির্দিষ্ট মানের ক্ষেত্রে ঐ সময় নির্ভরশীল চলকের মান বৃদ্ধি বা হ্রাস পাওয়ার হারকেই ডেরাইভেটিভ বা ডিফারেন্সিয়াল কোএফেশিয়েন্ট বা অন্তরীকরন সহগ বলা হয়। একে এভাবে প্রকাশ করা হয়,

$$\frac{dy}{dx}$$

যেখানে $x$ স্বাধীন চলক আর $y$ তার উপর নির্ভরশীল পরাধীন চলক।

পড়ার নিয়ম

ডেরাইভেটিভ কে স্বাধীন চলকের সাপেক্ষে পরাধীন চলকের ডেরাইভেটিভ বলে পড়া হয়। যেমন এক্ষেত্রে আমরা পড়ব $x$ এর সাপেক্ষে $y$ এর ডেরাইভেটিভ।

এই পর্যন্তই এই টিউটোরিয়াল। পরের টিউটোরিয়ালে বিভিন্ন বিল্ডিং ব্লকের ডেরাইভেটিভ প্রমাণসহ শিখিয়ে সম্ভাব্য যেকোন রাশির ডেরাইভেটিভ বের করা শেখাব ইনশাআল্লাহ। সেই পর্যন্ত সাথেই থাকুন। এই টিউটোরিয়ালটি আপনার ভালো লেগে থাকলে অবশ্যই শেয়ার করুন।