দনিয়া কলেজ, ঢাকা - ২০২০ ১ম বর্ষ সেমিস্টার পরীক্ষা - ১ - উচ্চ মাধ্যমিক পরীক্ষার প্রশ্ন এবং সমাধান (ব্যাখ্যাসহ)

-

প্রশ্ন



সমাধান

১ নং প্রশ্নের ক এর সমাধান (ম্যাট্রিক্সের সহগুণক নির্ণয়)

এখানে দেয়া আছে ম্যাট্রিক্স,
$$A=\begin{bmatrix}12 & 3 & 0\\1 & 2 & 1\\6 & 1 & 0\end{bmatrix}$$

আমরা জানি, কোন ম্যাট্রিক্সের সহগুণক নির্ণয় করতে হলে তার চিহ্ন নেগেটিভ হবে নাকি পজিটিভ হবে তা নিচের চিত্রের প্যাটার্ণ থেকে সহজেই নির্ণয় করা যায়। নিচের চিত্র দেখলেই সহজে তা বোঝা যাবে,
$$\begin{bmatrix}+ & - & + & ...\\ - & + & - & ...\\ + & - & + & ...\\ ... & ... & ... & ...  \end{bmatrix}$$
চিত্র থেকে আমরা সহজেই বুঝতে পারি যে, (3,2) ভুক্তিটির সহগুণকের চিহ্ন নেগেটিভ হবে। সুতরাং আমরা পেয়ে গেলাম
চিহ্ন: নেগেটিভ (-)

এবার আমাদের মান বের করার পালা। এখন আমরা (3,2) ভুক্তিটির কলাম (২য়) এবং রোকে(৩য়) ম্যাট্রিক্স থেকে মুছে দেব। মুছে দিলে ম্যাট্রিক্সটি দেখাবে এরম,
$$A=\begin{bmatrix}12 &  & 0\\1 &  & 1\\ & & \end{bmatrix}$$

ফাকা জায়গাগুলো বাদ দিয়ে 2x2 ম্যাট্রিক্স হিসেবে লিখলে,
$$\begin{bmatrix}12&0\\1&1\end{bmatrix}$$

আর এই ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কই হবে আমাদের সহগুণকের মান। আমরা মান ও চিহ্নসহ লিখতে পারি,
সহগুণক= -নির্ণায়ক
$$=-\begin{vmatrix}12&0\\1&1\end{vmatrix}$$
$$=-(12\times1 - 0\times1)$$
$$=-12$$
এটাই আমাদের নির্ণেয় উত্তর

...... বাকিগুলো লিখছি ....

১ নং প্রশ্নের খ এর সমাধান



মন্তব্যসমূহ

একটি মন্তব্য পোস্ট করুন

এই ব্লগটি থেকে জনপ্রিয় পোস্টগুলি

ঘূর্ণন

-
 সরাসরি দেশের মানুষের স্বার্থে ফান্ডামেন্টালস অব ফিজিক্স এর অধ্যায়কে বাংলায় অনুবাদ করা হয়েছে। প্রধান আইডিয়াগুলো কোন দৃৃঢ় বস্তুর (রিজিড বডি) ঘূর্ণনের জন্য আমরা একটি ঘূর্ণন অক্ষ ধরে নেই এবং একটি রেফারেন্স হিসেবে ঘূর্ণন অক্ষের উপর লম্ব একটি রেখা ধরে নেই যেটি বস্তুটির সাথে ঘোরে। আমরা কৌণিক অবস্থান $\theta$ ধরে নেই, যা হলো একটি ফিক্সড দিকের সাথে ওই রেখার কৌণিক মাপ। যদি এটাকে রেডিয়ানে মাপা হয়, আমরা বলতে পারি, $$\theta=\frac{s}{r}$$ যেখানে $s$ হচ্ছে $r$ ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তাকার পথের বৃত্তকলা (আর্ক) এর দৈর্ঘ্য। রেডিয়ান, ডিগ্রি আর ঘূর্ণন সংখ্যা (rev) নিম্নলিখিত রূপে সম্পর্কিত, $$360^{\circ}=1 \text{ } \mathrm{rev}=2\pi \text{ } \mathrm{rad}$$ কোন দৃঢ় বস্তুর ঘূর্ণনের ফলে কৌণিক অবস্থান যদি $\theta_1$ থেকে $\theta_2$ তে যায়, তাহলে তার কৌণিক সরণ (অ্যাংগুলার ডিসপ্লেসমেন্ট) হবে, $$\Delta\theta = \theta_2 - \theta_1$$ যদি কোন দৃঢ় বস্তুর যদি $\Delta t$ সময়ের ব্যবধানে $\Delta\theta$ পরিমাণ কৌণিক সরণ ঘটে তাহলে সেই সময় ব্যবধানের জন্য বস্তুটির গড় কৌণিক বেগ হবে $\omega_{avg}$, $$\omega_{avg} = \frac...
আরও পড়ুন

উইন্ডোজ সফটওয়্যার তৈরি(ভিজুয়াল বেসিক ৬)

-
আমরা আমাদের ল্যাপটপ, কম্পিউটারে অনেক সফটওয়্যার, গেমস ইত্যাদি চালিয়ে থাকি। আমাদেরও অনেক সময় এরকম সফটওয়্যার ও গেমস তৈরি করতে ইচ্ছা করে। অথচ আমরা বেশিরভাগই মনে করি যে, এসব সফটওয়্যার তৈরি করার জন্য প্রয়োজন ফ্যাক্টরি, ইন্ডাস্ট্রি ইত্যাদি। এ ধারণা সম্পূর্ণ ভূল। এর জন্য শুধু আপনার কম্পিউটার বা ল্যাপটপই যধেষ্ট। ভিজুয়াল বেসিক ব্যবহার করেই আমরা সফটওয়্যার তৈরি করতে পারি। এর জন্য নিচের টিউটোরিয়ালগুলো একে একে কমপ্লিট করলেই চলবে। ভিজুয়াল বেসিক পরিবেশের সাথে খাপ খাওয়ানো ভিজুয়াল বেসিক ৬ ইনস্টল করা । প্রথম সফটওয়্যার তৈরি করে দুনিয়াকে স্বাগতম জানাও । প্রোপার্টিজ উইন্ডোর ব্যবহার ।  টুলবক্সের ব্যবহার ।  প্রোজেক্ট এক্সপ্লোরার উইন্ডোর ব্যয়হার ।  প্রোগ্রামিং-এর শুরু ইভেন্ট ও এর ব্যবহার ।  প্রোগ্রামিং কোডের সাহায্যে ফর্মের বা কন্ট্রোলের প্রোপার্টি এক্সেস করা । ভেরিয়েবল কী ?
আরও পড়ুন

ক্যালকুলাস - অন্তরীকরণের সাথে পরিচয় এবং ডেরাইভেটিভ (Introduction to Differentiation and Derivative in Bangla)

-
 আশা করি আগের টিউটোরিয়ালগুলো আপনারা কমপ্লিট করে এসেছেন। না করলে ক্যালকুলাসের সম্পূর্ণ টিউটোরিয়ালের সূচি সাইডবারের লিংকে দেয়া রয়েছে। এই টিউটোরিয়ালে আমরা পরিবর্তন এবং পরিবর্তনের হার সম্বন্ধে জানব। সেই সাথে অন্তরীকরণ এবং ডেরাইভেটিভ বা অন্তরীকরণ সহগের সঙ্গে পরিচিত হব। প্রথমেই একটা বিষয় পরিষ্কার হয়ে নেয়া যাক। আমরা এখানে চলক বুঝাতে  $x$, $y$, $z$ ইত্যাদি প্রতীক এবং ধ্রুবক বুঝাতে $a$, $b$, $c$ ইত্যাদি প্রতীকগুলো ব্যবহার করব। এখন একটা চলক যদি হয় $x$ এবং আরেকটা চলক যদি হয় $y$ এবং $y$ এর মান $x$ এর মানের উপর নির্ভরশীল। এমন অনেক নির্ভরশীলতা হতে পারে। যেমন এখানে $x$ হতে পারে কোন বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য আর $y$ ঐ বর্গের ক্ষেত্রফল। এখন আমি ধরি $x$ এর মান অতি ক্ষুদ্র পরিমাণে বাড়িয়ে করলাম $x + dx$। তাহলে নিশ্চয়ই $y$ এর মানো অতি ক্ষুদ্র পরিমাণ বেড়ে (কমতেও পারে অথবা সমানও থাকতে পারে, সেক্ষেত্রে $dy$ এর মান নেগেটিভ বা জিরো) গিয়ে হবে $y + dy$। এখন এই বর্গক্ষেত্রের কথাই চিন্তা করি। আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহুর দৈর্ঘ্য)*(বাহুর দৈর্ঘ্য) সুতরাং, $y = x^2$    ------------(1) এব...
আরও পড়ুন